a)

Resolució:
Podem fer un diagrama d'arbre. Observem que per cada pantaló (2 opcions), en Joan pot triar 3 samarretes diferents i, per cadascuna d'aquestes, pot escollir 2 tipus de sabates. Pel principi del producte, multipliquem el nombre d'opcions cada elecció:

$$2 \times 3 \times 2 = 12$$

El nombre total de combinacions possibles és:

$$\boxed{12}$$

b)

Resolució:
Construïm una taula de doble entrada on les files són el primer dau i les columnes el segon dau. Cada casella representa un parell de resultats possibles:

$$\begin{array}{c|cccc} \text{Dau 1 / Dau 2} & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 1 & (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) \\ 2 & (2,1) & (2,2) & (2,3) & (2,4) \\ 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) \\ 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) \\ \end{array}$$

Com que la taula té 4 files i 4 columnes, el nombre total de combinacions és $4 \times 4$:

$$\boxed{16}$$

No tenen la mateixa probabilitat de sortir tots els resultats. Per exemple, $2$ només es pot obtenir sumant $1$ i $1$, en canvi $6$ es pot obtenir com $1+5$, $2+4$, $3+3$, $4+2$, $5+1$. Per tant, $6$ és més probable que $1$.

c)

Resolució:
Com que importa l'ordre i entren tots els elements, és una permutació de 3 elements ($P_3$). Calculem el factorial de 3:

$$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$

Es poden col·locar de:

$$\boxed{6 \text{ formes diferents}}$$

d)

Resolució:
Apliquem el principi multiplicatiu, multiplicant les opcions que tenim per a cada tria (primers $\times$ segons $\times$ postres):

$$3 \times 4 \times 2 = 24$$

Es poden triar:

$$\boxed{24 \text{ menús diferents}}$$

e)

Resolució:
A cada llançament tenim 2 opcions (C o X). Si fem un diagrama d'arbre, veiem que per a 3 llançaments el nombre d'opcions es multiplica per 2 a cada pas:

$$2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$$

Els resultats possibles són (CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX). En total n'hi ha:

$$\boxed{8}$$

f)

Resolució:
Volem ordenar 4 elements on importa l'ordre i s'utilitzen tots. És una permutació de 4 elements ($P_4$):

$$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$

Es poden ordenar de:

$$\boxed{24 \text{ maneres}}$$

g)

Resolució:
Fem una taula creuant els nois (files) amb les noies (columnes):

$$\begin{array}{c|ccc} \text{Nois / Noies} & \text{Diana (D)} & \text{Eva (E)} & \text{Fàtima (F)} \\ \hline \text{Albert (A)} & (A,D) & (A,E) & (A,F) \\ \text{Boris (B)} & (B,D) & (B,E) & (B,F) \\ \text{Carles (C)} & (C,D) & (C,E) & (C,F) \\ \end{array}$$

Com que tenim 3 files i 3 columnes, multipliquem $3 \times 3$:

$$\boxed{9 \text{ parelles diferents}}$$

h)

Resolució:
Per a la primera xifra tenim 4 opcions (1, 2, 3, 4). Com que els números es poden repetir, per a la segona xifra tornem a tenir 4 opcions. Apliquem el principi multiplicatiu:

$$4 \times 4 = 16$$

Es poden crear:

$$\boxed{16 \text{ codis}}$$

i)

Resolució:
Com que utilitzem les 3 lletres (F, O, C) i l'ordre canvia la paraula, es tracta d'una permutació de 3 elements ($P_3$):

$$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$

Les paraules són: FOC, FCO, OFC, OCF, CFO, COF. En total podem formar:

$$\boxed{6 \text{ paraules}}$$

j)

Resolució:
Podem imaginar un diagrama d'arbre: des de la ciutat A sortim per 2 camins fins a B. Des de cadascun d'aquests 2 camins, s'obren 4 noves opcions per arribar a C. Multipliquem les opcions de cada tram:

$$2 \times 4 = 8$$

Hi ha un total de:

$$\boxed{8 \text{ itineraris diferents}}$$