En Joan té 2 pantalons (negre i blau), 3 samarretes (blanca, verda i vermella) i 2 sabates (sandàlies o vambes). De quantes maneres diferents es pot vestir combinant un pantaló i una samarreta?
Resolució:
Podem fer un diagrama d'arbre.
Observem que per cada pantaló (2 opcions), en Joan pot triar 3 samarretes diferents i, per cadascuna d'aquestes, pot escollir 2 tipus de sabates. Pel principi del producte, multipliquem el nombre d'opcions cada elecció:
El nombre total de combinacions possibles és:
$$\boxed{12}$$Llançem dos daus de 4 cares (numerades de l'1 al 4) i sumem els punts obtinguts. Quants resultats diferents podem obtenir en total en fer el llançament? Tots tenen les mateixa probabilitat de sortir?
Resolució:
Construïm una taula de doble entrada on les files són el primer dau i les columnes el segon dau. Cada casella representa un parell de resultats possibles:
Com que la taula té 4 files i 4 columnes, el nombre total de combinacions és $4 \times 4$:
$$\boxed{16}$$No tenen la mateixa probabilitat de sortir tots els resultats. Per exemple, $2$ només es pot obtenir sumant $1$ i $1$, en canvi $6$ es pot obtenir com $1+5$, $2+4$, $3+3$, $4+2$, $5+1$. Per tant, $6$ és més probable que $1$.
Tres amics, l'Anna, en Blai i la Carla, fan cua per comprar l'entrada del cinema. De quantes formes diferents es poden col·locar a la cua?
Resolució:
Com que importa l'ordre i entren tots els elements, és una permutació de 3 elements ($P_3$). Calculem el factorial de 3:
Es poden col·locar de:
$$\boxed{6 \text{ formes diferents}}$$Un restaurant ofereix un menú amb 3 primers plats, 4 segons plats i 2 postres. Quants menús diferents compostos per un primer, un segon i unes postres es poden triar?
Resolució:
Apliquem el principi multiplicatiu, multiplicant les opcions que tenim per a cada tria (primers $\times$ segons $\times$ postres):
Es poden triar:
$$\boxed{24 \text{ menús diferents}}$$Llançem una moneda a l'aire 3 vegades seguides i anotem si surt Cara (C) o Creu (X). Quants resultats possibles té aquest experiment?
Resolució:
A cada llançament tenim 2 opcions (C o X). Si fem un diagrama d'arbre, veiem que per a 3 llançaments el nombre d'opcions es multiplica per 2 a cada pas:
Els resultats possibles són (CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX). En total n'hi ha:
$$\boxed{8}$$Tenim 4 llibres diferents de matemàtiques i els volem col·locar de costat en una prestatgeria. De quantes maneres diferents els podem ordenar?
Resolució:
Volem ordenar 4 elements on importa l'ordre i s'utilitzen tots. És una permutació de 4 elements ($P_4$):
Es poden ordenar de:
$$\boxed{24 \text{ maneres}}$$En un torneig de tennis hi participen 3 nois (Albert, Boris, Carles) i 3 noies (Diana, Eva, Fàtima). Es vol organitzar un partit de dobles mixtos (una parella formada per un noi i una noia). Quantes parelles diferents es poden formar? Mostra-ho amb una taula.
Resolució:
Fem una taula creuant els nois (files) amb les noies (columnes):
Com que tenim 3 files i 3 columnes, multipliquem $3 \times 3$:
$$\boxed{9 \text{ parelles diferents}}$$Volem crear un codi secret de dues xifres utilitzant els números 1, 2, 3 i 4. Els números es poden repetir (per exemple, el 11 és vàlid). Quants codis diferents podem fer?
Resolució:
Per a la primera xifra tenim 4 opcions (1, 2, 3, 4). Com que els números es poden repetir, per a la segona xifra tornem a tenir 4 opcions. Apliquem el principi multiplicatiu:
Es poden crear:
$$\boxed{16 \text{ codis}}$$Amb les lletres de la paraula FOC, quantes paraules de 3 lletres (amb sentit o sense) podem formar si no es pot repetir cap lletra?
Resolució:
Com que utilitzem les 3 lletres (F, O, C) i l'ordre canvia la paraula, es tracta d'una permutació de 3 elements ($P_3$):
Les paraules són: FOC, FCO, OFC, OCF, CFO, COF. En total podem formar:
$$\boxed{6 \text{ paraules}}$$Per anar de la ciutat A a la ciutat B hi ha 2 camins diferents (Camí 1 i Camí 2). Per anar de la ciutat B a la ciutat C hi ha 4 camins diferents (A, B, C i D). Quants itineraris diferents hi ha per anar de la ciutat A a la ciutat C passant per B?
Resolució:
Podem imaginar un diagrama d'arbre: des de la ciutat A sortim per 2 camins fins a B. Des de cadascun d'aquests 2 camins, s'obren 4 noves opcions per arribar a C. Multipliquem les opcions de cada tram:
Hi ha un total de:
$$\boxed{8 \text{ itineraris diferents}}$$