a)

1. Aïllem la $y$: $$y = 4x - 3 \quad (\text{Recta})$$ $$y = x^2 - 3 \quad (\text{Paràbola})$$

2. Representació:

• Recta: L'ordenada a l'origen és $-3$. El pendent és $m = \frac{4}{1}$, per tant, per cada $1$ que avancem a la dreta, en pugem $4$. Passa per $(0, -3)$ i $(1, 1)$.
• Paràbola: $x_v = \frac{0}{2(1)} = 0 \implies y_v = -3$. Vèrtex a $(0, -3)$. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 4 \\ \hline y & 1 & -2 & -3 & -2 & 13 \\ \hline \end{array}$$

Punts d'intersecció: $$\boxed{(0, -3) \text{ i } (4, 13)}$$

b)

1. Aïllem la $y$: $$y = 1 - \frac{3}{x} \quad (\text{Hipèrbola})$$ $$y = -2x \quad (\text{Recta})$$

2. Representació:

• Hipèrbola: Asímptota vertical a $x = 0$.
  Branca negativa ($x < 0$): Si $x=-3, y=2$; si $x=-1.5, y=3$.
  Branca positiva ($x > 0$): Si $x=1, y=-2$; si $x=3, y=0$. $$\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|c|} \hline x & -3 & -1.5 & -1 & 1 & 1.5 & 3 \\ \hline y & 2 & 3 & 4 & -2 & -1 & 0 \\ \hline \end{array}$$
• Recta: Ordenada $0$. Pendent $m = \frac{-2}{1}$ (avancem $1$, baixem $2$). Passa per $(0, 0)$ i $(1, -2)$.

Punts d'intersecció: $$\boxed{(1, -2) \text{ i } (-1.5, 3)}$$

c)

1. Aïllem la $y$: Ja estan aïllades. Ambdues són paràboles.

2. Representació:

• Paràbola 1 ($y = x^2 - x - 4$): $x_v = \frac{-(-1)}{2(1)} = 0.5 \implies y_v = -4.25$. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 0.5 & 1 & 2 \\ \hline y & -2 & -4 & -4.25 & -4 & -2 \\ \hline \end{array}$$
• Paràbola 2 ($y = -x^2 + x$): $x_v = \frac{-1}{2(-1)} = 0.5 \implies y_v = 0.25$. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 0.5 & 1 & 2 \\ \hline y & -2 & 0 & 0.25 & 0 & -2 \\ \hline \end{array}$$

Punts d'intersecció: $$\boxed{(-1, -2) \text{ i } (2, -2)}$$

d)

1. Aïllem la $y$: $y = \frac{1}{x}$ (Hipèrbola) i $y = x^2 - 5$ (Paràbola).

2. Representació:

• Hipèrbola: Asímptota vertical a $x = 0$.

  Localitzem l'asímptota vertical a $x=0$. Triem valors propers per definir la curvatura de les dues branques:

  $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -2 & -1 & -0.2 & 0 & 0.2 & 1 & 2 & 4 \\ \hline y & -0.25 & -0.5 & -1 & -5 & \nexists & 5 & 1 & 0.5 & 0.25 \\ \hline \end{array}$$
• Paràbola: Vèrtex a $(0, -5)$. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2.1 & -1 & 0 & 1 & 2.3 \\ \hline y & -0.59 & -4 & -5 & -4 & 0.29 \\ \hline \end{array}$$
• Anàlisi: En aquest cas la hipèrbola i la paràbola es tallen en 3 punts (dos a la branca negativa i un a la positiva).

Solucions (aproximades): $$\boxed{(-2.12, -0.47), (-0.2, -5) \text{ i } (2.33, 0.43)}$$