Es diu que una matriu quadrada $A$ és involutiva si compleix que $A^2 = I$, on $I$ denota la matriu identitat.
Per definició, una matriu $A$ és invertible si existeix una matriu $B$ tal que $A \cdot B = I$. En una matriu involutiva, la condició $A^2 = I$ es pot escriure com:
$$A \cdot A = I$$Aquesta igualtat ens demostra que la inversa de la matriu $A$ és la pròpia matriu $A$ ($A^{-1} = A$). Com que existeix la inversa, la matriu és regular.
Justificació de l'apartat a) mitjançant la propietat dels determinants:
Per demostrar que una matriu involutiva $A$ és regular, hem de comprovar que el seu determinant és diferent de zero ($\det(A) \neq 0$).
1. Partim de la condició de matriu involutiva:
$$A^2 = I$$2. Apliquem el determinant a ambdós costats de l'equació:
$$\det(A^2) = \det(I)$$3. Utilitzem les propietats dels determinants:
4. Substituint aquestes propietats en l'equació anterior obtenim:
$$(\det(A))^2 = 1$$5. En resoldre l'equació, veiem que els valors possibles per al determinant són:
$$\det(A) = \pm \sqrt{1} \implies \det(A) = 1 \quad \text{o} \quad \det(A) = -1$$Conclusió:
Com que en ambdós casos $\det(A) \neq 0$, queda demostrat que la matriu $A$ és sempre invertible.
$$\boxed{\text{Si } A^2 = I \implies \det(A) = \pm 1 \neq 0 \implies \exists A^{-1}}$$Calculem $M^2$ realitzant el producte de la matriu per si mateixa:
$$M^2 = \begin{pmatrix} a & a & 0 \\ a & -a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & a & 0 \\ a & -a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2+a^2 & a^2-a^2 & 0 \\ a^2-a^2 & a^2+(-a)^2 & 0 \\ 0 & 0 & b^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2a^2 & 0 \\ 0 & 0 & b^2 \end{pmatrix}$$Perquè $M$ sigui involutiva, $M^2$ ha de ser igual a la identitat $I$:
$$\begin{pmatrix} 2a^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2a^2 & 0 \\ 0 & 0 & b^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$Igualant els elements de la diagonal:
Els valors possibles són:
$$\boxed{a = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad b = \pm 1}$$