Per resoldre el problema, hem d'aplicar les tres condicions donades sobre la matriu $X$:

1. Condició de commutativitat ($A \cdot X = X \cdot A$):

Calculem ambdós productes i igualem els elements corresponents:

$$A \cdot X = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -c & -d \\ a & b \end{pmatrix}$$ $$X \cdot A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b & -a \\ d & -c \end{pmatrix}$$

D'aquí obtenim el sistema d'equacions:

$$\begin{cases} -c = b \\ -d = -a \implies a = d \end{cases}$$

Per tant, la matriu ha de tenir la forma: $X = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$.

2. Condició de la suma dels elements de la diagonal, també coneguda com a traça ($a + d = 1$):

Com que hem determinat que $a = d$, substituïm en la condició de la suma:

$$a + a = 1 \implies 2a = 1 \implies a = \frac{1}{2}$$

Així doncs, $a = \frac{1}{2}$ i $d = \frac{1}{2}$. La matriu ara és $X = \begin{pmatrix} 1/2 & b \\ -b & 1/2 \end{pmatrix}$.

3. Condició del determinant ($|X| = 1$):

Calculem el determinant de la matriu resultant i l'igualem a $1$:

$$|X| = \begin{vmatrix} 1/2 & b \\ -b & 1/2 \end{vmatrix} = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) - (b \cdot (-b)) = \frac{1}{4} + b^2$$

Resolem per a $b$:

$$\frac{1}{4} + b^2 = 1 \implies b^2 = 1 - \frac{1}{4} \implies b^2 = \frac{3}{4} \implies b = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Conclusió:

Obtenim dues matrius possibles segons el valor de $b$:

$$\boxed{X_1 = \begin{pmatrix} 1/2 & \sqrt{3}/2 \\ -\sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix}, \quad X_2 = \begin{pmatrix} 1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix}}$$