Resolució:

Per calcular el determinant de forma eficient, busquem la fila o columna que tingui més zeros. En aquest cas, la segona fila ($f_2$) és una bona opció ja que conté dos zeros.

1. Aplicació del desenvolupament per la segona fila:

La fórmula del desenvolupament pels adjunts per la fila 2 és:

$$|M| = a_{21}A_{21} + a_{22}A_{22} + a_{23}A_{23} + a_{24}A_{24}$$

Com que $a_{21}=0$ i $a_{23}=0$, l'expressió es redueix a:

$$|M| = (-1) \cdot (-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 4 & 0 & -1 \end{vmatrix} + 4 \cdot (-1)^{2+4} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & 2 & 0 \end{vmatrix}$$ $$|M| = -1 \cdot \underbrace{\begin{vmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 4 & 0 & -1 \end{vmatrix}}_{D_1} + 4 \cdot \underbrace{\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & 2 & 0 \end{vmatrix}}_{D_2}$$

2. Càlcul dels determinants de submatrius $3 \times 3$ (Sarrus):

Calculem $D_1$:

$$D_1 = [2 \cdot 1 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 \cdot 4 + 0 \cdot 1 \cdot 0] - [4 \cdot 1 \cdot 0 + 0 \cdot 2 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 \cdot 3]$$ $$D_1 = [-2 + 24 + 0] - [0 + 0 - 3] = 22 - (-3) = 25$$

Calculem $D_2$:

$$D_2 = [2 \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 4 + 3 \cdot 1 \cdot 2] - [4 \cdot 0 \cdot 3 + 2 \cdot 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 \cdot 1]$$ $$D_2 = [0 + 4 + 6] - [0 + 4 + 0] = 10 - 4 = 6$$

3. Substitució i resultat final:

$$|M| = -1 \cdot (25) + 4 \cdot (6)$$ $$|M| = -25 + 24 = -1$$

El valor del determinant és:

$$\boxed{|M| = -1}$$