Valors de $a$ perquè $B$ no tingui inversa:

Una matriu no té inversa si el seu determinant és igual a zero. Calculem el determinant de $B$ mitjançant la regla de Sarrus o el desenvolupament per una fila/columna:

$$|B| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 2 & a & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = (1 \cdot a \cdot 0) + (1 \cdot 1 \cdot 2) + (a \cdot 2 \cdot 2) - (2 \cdot a \cdot a) - (2 \cdot 1 \cdot 1) - (0 \cdot 2 \cdot 1)$$ $$|B| = 0 + 2 + 4a - 2a^2 - 2 - 0 = 4a - 2a^2$$

Igualem el determinant a zero per trobar els valors crítics:

$$4a - 2a^2 = 0 \implies 2a(2 - a) = 0$$

Les solucions són:

$$\boxed{a = 0 \quad \text{i} \quad a = 2}$$

Càlcul de $X$ per a $a = 1$:

Si $a=1$, el determinant és $|B| = 4(1) - 2(1)^2 = 2 \neq 0$, per tant, existeix $B^{-1}$. L'equació matricial és $AXB = C$. Aïllem $X$ multiplicant per l'esquerra per $A^{-1}$ i per la dreta per $B^{-1}$:

$$X = A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1}$$

1. Calculem $A^{-1}$ (on $|A| = 1$):

$$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$

2. Calculem $B^{-1}$ per a $a = 1$:

$$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix} \implies B^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1/2 \\ 1 & 0 & -1/2 \end{pmatrix}$$

3. Realitzem el producte $X = (A^{-1}C)B^{-1}$:

$$A^{-1}C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 4 & -1 & -5 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 4 & -1 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1/2 \\ 1 & 0 & -1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 1 \\ -10 & 5 & 2 \end{pmatrix}$$

El resultat final és:

$$\boxed{X = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 1 \\ -10 & 5 & 2 \end{pmatrix}}$$