Substituïm la funció $f(x) = 2 e^{\frac{x}{10}}$ a la integral:

$$ S = \int_0^{10} 2\pi \left( 2 e^{\frac{x}{10}} \right) \, dx $$

Traiem les constants ($2\pi \cdot 2 = 4\pi$) fora de la integral:

$$ S = 4\pi \int_0^{10} e^{\frac{x}{10}} \, dx $$

Busquem la primitiva. Sabem que $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx}$. En aquest cas $k = \frac{1}{10}$, per tant, el factor és $\frac{1}{1/10} = 10$:

$$ S = 4\pi \left[ 10 e^{\frac{x}{10}} \right]_0^{10} $$

Traiem el $10$ com a factor comú fora del claudàtor:

$$ S = 40\pi \left[ e^{\frac{x}{10}} \right]_0^{10} $$

Apliquem la Regla de Barrow (Substituïm el límit superior i restem l'inferior):

$$ S = 40\pi \left( e^{\frac{10}{10}} - e^{\frac{0}{10}} \right) $$ $$ S = 40\pi (e^1 - e^0) $$

El resultat exacte és:

$$ S = 40\pi (e - 1) $$

Calculem el valor aproximat:

$$ S \approx 40\pi (2,718 - 1) = 40\pi (1,718) \approx 215,93 $$ $$ \boxed{S = 40\pi(e-1) \approx 215,93} $$

Fórmula: $V = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 \, dx$.$$V = \pi \int_{0}^{10} (2 \cdot e^{x/10})^2 \, dx$$ Elevem al quadrat (atenció a l'exponent: $(e^{x/10})^2 = e^{2 \cdot x/10} = e^{0,2x}$): $$V = \pi \int_{0}^{10} 4 \cdot e^{0,2x} \, dx = 4\pi \int_{0}^{10} e^{0,2x} \, dx$$Integrem (ara dividim per $0,2$, i sabem que $\frac{1}{0,2} = 5$):$$V = 4\pi \cdot \left[ \frac{e^{0,2x}}{0,2} \right]_{0}^{10} = 4\pi \cdot 5 \cdot [ e^{0,2x} ]_{0}^{10}$$$$V = 20\pi \cdot [ e^{0,2x} ]_{0}^{10}$$Apliquem Barrow:$$V = 20\pi \cdot (e^{0,2 \cdot 10} - e^0) = 20\pi \cdot (e^2 - 1)$$Resultat final:$$V = \mathbf{20\pi(e^2 - 1) \, cm^3}$$

Càlcul aproximat:$e^2 \approx 7,389$.$V \approx 20 \cdot 3,1416 \cdot (6,389) \approx 401,4 \, cm^3$.

(Una mica menys de mig litre d'aire, que és molt coherent).