a)

Variables:
$x$: boles blanques
$y$: boles negres

Anàlisi de l'enunciat:
- Condició 1 (afegir blanca): $\frac{x+1}{x+y+1} = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} \rightarrow 4(x+1) = x+y+1 \rightarrow 3x - y = -3$
- Condició 2 (treure blanca): $\frac{x-1}{x+y-1} = \frac{20}{100} = \frac{1}{5} \rightarrow 5(x-1) = x+y-1 \rightarrow 4x - y = 4$

Sistema:
$\begin{cases} 3x - y = -3 \\ 4x - y = 4 \end{cases}$

Resolució:
1. Substitució: Aïllem $y$ a la 1a: $y = 3x+3$. Substituïm a la 2a: $4x - (3x+3) = 4 \rightarrow x - 3 = 4 \rightarrow x = 7$. Llavors $y = 3(7)+3 = 24$.
2. Igualació: $y = 3x+3$ i $y = 4x-4$. Igualem: $3x+3 = 4x-4 \rightarrow 7 = x$.
3. Reducció: Multipliquem la 1a per $-1$: $-3x + y = 3$. Sumem a la 2a ($4x - y = 4$): $x = 7$.

La solució matemàtica dóna 7 blanques i 24 negres. (Nota: L'enunciat original pot tenir variants, però aquest és el resultat del sistema plantejat).

Resultat final: $$\boxed{7 \text{ blanques i } 24 \text{ negres}}$$

b)

Variables:
$x$: base
$y$: altura

Anàlisi de l'enunciat:
- Condició 1 (Àrea): $x \cdot y = 600$
- Condició 2 (Perímetre): $2x + 2y = 100 \rightarrow x + y = 50$

Sistema (No lineal):
$\begin{cases} xy = 600 \\ x + y = 50 \end{cases}$

Resolució per Substitució:
Aïllem $y$ a la 2a equació: $y = 50 - x$.
Substituïm a la 1a: $x(50 - x) = 600 \rightarrow 50x - x^2 = 600 \rightarrow x^2 - 50x + 600 = 0$.
Resolem l'equació de 2n grau:
$$x = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 2400}}{2} = \frac{50 \pm 10}{2}$$ Solucions: $x_1 = 30$, $x_2 = 20$. Si $x=30, y=20$. Si $x=20, y=30$.

Resultat final: $$\boxed{20\text{ m i } 30\text{ m}}$$

c)

Variables:
$x$: longitud de la base del rectangle ($MN$)
$y$: altura del rectangle ($MQ$)

Anàlisi de l'enunciat:
- Condició 1 (Perímetre): $2x + 2y = 12 \rightarrow x + y = 6$.
- Condició 2 (Semblança de triangles): El triangle petit superior ($AMN$) és semblant al gran ($ABC$).
Base gran: $8$, Altura gran: $4$. Base petita: $x$, Altura petita: $4-y$.
Proporció: $\frac{x}{8} = \frac{4-y}{4} \rightarrow 4x = 32 - 8y \rightarrow x = 8 - 2y \rightarrow x + 2y = 8$.

Sistema:
$\begin{cases} x + y = 6 \\ x + 2y = 8 \end{cases}$

Resolució:
1. Substitució: $x = 6-y$. Substituïm: $(6-y) + 2y = 8 \rightarrow 6 + y = 8 \rightarrow y = 2$. Llavors $x = 4$.
2. Igualació: $x = 6-y$ i $x = 8-2y$. Igualem: $6-y = 8-2y \rightarrow y = 2$.
3. Reducció: Restem la 2a menys la 1a: $(x+2y) - (x+y) = 8 - 6 \rightarrow y = 2$.

Resultat final: $$\boxed{\text{Base: } 4\text{ cm, Altura: } 2\text{ cm}}$$

d)

Variables: $a$ i $b$ (paràmetres de la successió).

Anàlisi de l'enunciat:
En una progressió aritmètica la diferència ($d$) entre termes consecutius és constant.
- Equació 1: $T_2 - T_1 = T_3 - T_2 \rightarrow 9 - a = (3a-b) - 9 \rightarrow 18 = 4a - b \rightarrow 4a - b = 18$.
- Equació 2: $T_3 - T_2 = T_4 - T_3 \rightarrow (3a-b) - 9 = (3a+b) - (3a-b) \rightarrow 3a - b - 9 = 2b \rightarrow 3a - 3b = 9 \rightarrow a - b = 3$.

Sistema:
$\begin{cases} 4a - b = 18 \\ a - b = 3 \end{cases}$

Resolució:
1. Substitució: $a = b+3$. Substituïm a la 1a: $4(b+3) - b = 18 \rightarrow 4b + 12 - b = 18 \rightarrow 3b = 6 \rightarrow b = 2$. Llavors $a = 5$.
2. Reducció: Restem les equacions: $(4a - b) - (a - b) = 18 - 3 \rightarrow 3a = 15 \rightarrow a = 5$. Llavors $5 - b = 3 \rightarrow b = 2$.
3. Càlcul del terme: La successió és $5, 9, 13, 17 \dots$. Primer terme $a_1=5$, diferència $d=4$.
Terme general: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$a_{187} = 5 + (186 \cdot 4) = 5 + 744 = 749$.

Resultat final: $$\boxed{a_{187} = 749}$$

e)

Variables:
$x$: kg de pomes de $20$ €
$y$: kg de pomes de $8$ €

Anàlisi de l'enunciat:
- Condició 1 (massa): $x + y = 400$
- Condició 2 (preu): $\frac{20x + 8y}{400} = 12,5 \rightarrow 20x + 8y = 5000$ (simplificant per 4: $5x + 2y = 1250$)

Sistema:
$\begin{cases} x + y = 400 \\ 5x + 2y = 1250 \end{cases}$

Resolució:
1. Substitució: $y = 400-x$. Substituïm: $5x + 2(400-x) = 1250 \rightarrow 5x + 800 - 2x = 1250 \rightarrow 3x = 450 \rightarrow x = 150$. Llavors $y = 250$.
2. Igualació: $y = 400-x$ i $y = \frac{1250-5x}{2}$. Igualem: $800 - 2x = 1250 - 5x \rightarrow 3x = 450 \rightarrow x = 150$.
3. Reducció: Multipliquem la 1a per $-2$: $-2x - 2y = -800$. Sumem a la 2a: $3x = 450 \rightarrow x = 150$.

Resultat final: $$\boxed{150\text{ kg de } 20\text{ € i } 250\text{ kg de } 8\text{ €}}$$

f)

Variables: $D$ (diagonal major), $d$ (diagonal menor).

Anàlisi de l'enunciat:
- Condició 1 (Àrea): $\frac{D \cdot d}{2} = 24 \rightarrow D \cdot d = 48 \rightarrow D = \frac{48}{d}$.
- Condició 2 (Pitàgores costat): $(\frac{D}{2})^2 + (\frac{d}{2})^2 = 5^2 \rightarrow \frac{D^2}{4} + \frac{d^2}{4} = 25 \rightarrow D^2 + d^2 = 100$.

Sistema (No lineal):
$\begin{cases} D \cdot d = 48 \\ D^2 + d^2 = 100 \end{cases}$

Resolució per Substitució:
Substituïm $D = 48/d$ en la 2a equació:
$(\frac{48}{d})^2 + d^2 = 100 \rightarrow \frac{2304}{d^2} + d^2 = 100$.
Multipliquem per $d^2$ (canvi $t=d^2$): $2304 + d^4 = 100d^2 \rightarrow d^4 - 100d^2 + 2304 = 0$.
Equació biquadrada. Solucions per $t$: $64$ i $36$.
Si $t=36 \rightarrow d=6$. Llavors $D = 48/6 = 8$. (L'altra solució dóna els papers intercanviats).

Resultat final: $$\boxed{6\text{ cm i } 8\text{ cm}}$$

g)

Variables: $b$ (base), $h$ (altura).

Anàlisi de l'enunciat:
- Condició 1: $b - 80 = h + 40 \rightarrow b - h = 120$.
- Condició 2: $(b - 60)(h + 20) = b \cdot h - 400$.
Operant la 2a: $bh + 20b - 60h - 1200 = bh - 400 \rightarrow 20b - 60h = 800 \rightarrow b - 3h = 40$.

Sistema:
$\begin{cases} b - h = 120 \\ b - 3h = 40 \end{cases}$

Resolució:
1. Substitució: $b = 120 + h$. Substituïm: $(120+h) - 3h = 40 \rightarrow 120 - 2h = 40 \rightarrow 80 = 2h \rightarrow h = 40$. Llavors $b = 160$.
2. Igualació: $120+h = 40+3h \rightarrow 80 = 2h \rightarrow h = 40$.
3. Reducció: Restem les equacions: $(b-h) - (b-3h) = 120 - 40 \rightarrow 2h = 80 \rightarrow h = 40$.

Resultat final: $$\boxed{160\text{ m } \times 40\text{ m}}$$

h)

Variables: $x$ (base), $y$ (altura).

Anàlisi de l'enunciat:
- Condició 1 (Pitàgores): $x^2 + y^2 = 13^2 = 169$.
- Condició 2 (Àrea): $xy = 60 \rightarrow y = 60/x$.

Sistema (No lineal):
$\begin{cases} x^2 + y^2 = 169 \\ xy = 60 \end{cases}$

Resolució per Substitució:
Substituïm $y$: $x^2 + (\frac{60}{x})^2 = 169 \rightarrow x^2 + \frac{3600}{x^2} = 169$.
Multipliquem per $x^2$: $x^4 - 169x^2 + 3600 = 0$.
Biquadrada. $t = x^2$. $t = \frac{169 \pm \sqrt{28561 - 14400}}{2} = \frac{169 \pm 119}{2}$.
$t_1 = 144 \rightarrow x=12$. $t_2 = 25 \rightarrow x=5$.

Resultat final: $$\boxed{12\text{ m i } 5\text{ m}}$$

i)

Variables: $x$ (costat petit), $x+2$ (costat gran).

Anàlisi de l'enunciat:
- Equació única: $x(x+2) = 15$.

Resolució:
$x^2 + 2x - 15 = 0$.
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-15)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 \pm 8}{2}$.
Solució positiva: $x = 3$. L'altre costat: $3+2=5$.

Resultat final: $$\boxed{3\text{ cm i } 5\text{ cm}}$$

j)

Variables: $x$ (desenes), $y$ (unitats). Nombre $= 10x+y$.

Anàlisi de l'enunciat:
- Condició 1: $\frac{10x+y}{xy} = \frac{3}{2} \rightarrow 20x + 2y = 3xy$.
- Condició 2: $(10y+x) - (10x+y) = 36 \rightarrow 9y - 9x = 36 \rightarrow y - x = 4 \rightarrow y = x+4$.

Sistema:
$\begin{cases} 20x + 2y = 3xy \\ y = x + 4 \end{cases}$

Resolució per Substitució:
Substituïm $y$ a la 1a: $20x + 2(x+4) = 3x(x+4)$.
$22x + 8 = 3x^2 + 12x \rightarrow 3x^2 - 10x - 8 = 0$.
$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4(3)(-8)}}{6} = \frac{10 \pm \sqrt{196}}{6} = \frac{10 \pm 14}{6}$.
Solució positiva: $x = 4$. Llavors $y = 4+4=8$.

Resultat final: $$\boxed{\text{El nombre és } 48}$$