a)
Variables:
$x$: Litres de vi a la primera gerra
$y$: Litres de vi a la segona gerra
Anàlisi de l'enunciat:
- Condició 1: $\frac{2}{5}x = \frac{2}{3}y \rightarrow 6x = 10y \rightarrow 3x - 5y = 0$
- Condició 2: $\frac{1}{2}x = y - 5 \rightarrow x = 2y - 10 \rightarrow x - 2y = -10$
Sistema:
$\begin{cases} 3x - 5y = 0 \\ x - 2y = -10 \end{cases}$
Resolució:
1. Substitució: Aïllem $x = 2y - 10$. Substituïm: $3(2y - 10) - 5y = 0 \rightarrow 6y - 30 - 5y = 0 \rightarrow y = 30$. Llavors $x = 2(30) - 10 = 50$.
2. Igualació: $x = \frac{5y}{3}$ i $x = 2y - 10$. Igualem: $\frac{5y}{3} = 2y - 10 \rightarrow 5y = 6y - 30 \rightarrow y = 30$.
3. Reducció: Multipliquem la 2a per $-3$: $-3x + 6y = 30$. Sumem a la 1a ($3x - 5y = 0$): $y = 30$.
Resultat final: $$\boxed{50 \text{ i } 30 \text{ litres}}$$
b)
Variables:
$x$: Nombre d'objectes comprats
$y$: Preu de cada objecte (€)
Anàlisi de l'enunciat:
- Condició 1 (compra real): $x \cdot y = 240$
- Condició 2 (supòsit): $(x + 10)(y - 4) = 240$
Sistema:
$\begin{cases} xy = 240 \\ xy - 4x + 10y - 40 = 240 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} xy = 240 \\ -4x + 10y = 40 \end{cases}$
Resolució:
1. Substitució: $y = \frac{240}{x}$. Substituïm a la 2a: $-4x + 10(\frac{240}{x}) = 40 \rightarrow -4x^2 + 2400 = 40x \rightarrow 4x^2 + 40x - 2400 = 0 \rightarrow x^2 + 10x - 600 = 0$. Resolent l'equació de 2n grau, $x = 20$. Llavors $y = 12$.
2. Igualació: $y = \frac{240}{x}$ i $y = \frac{40 + 4x}{10}$. Igualem: $\frac{240}{x} = \frac{40 + 4x}{10} \rightarrow 2400 = 40x + 4x^2$. Arribem a la mateixa equació.
3. Reducció: En ser un sistema no lineal (producte $xy$), el mètode de reducció no és el més adequat per eliminar variables directament.
Resultat final: $$\boxed{20 \text{ objectes a } 12 \text{ € cadascun}}$$
c)
Variables:
$x$: Nombre de nets
$y$: Quantitat total de diners (€)
Anàlisi de l'enunciat:
- Condició 1: $300x + 600 = y \rightarrow 300x - y = -600$
- Condició 2: $500x - 1000 = y \rightarrow 500x - y = 1000$
Sistema:
$\begin{cases} 300x - y = -600 \\ 500x - y = 1000 \end{cases}$
Resolució:
1. Substitució: $y = 300x + 600$. Substituïm: $500x - (300x + 600) = 1000 \rightarrow 200x = 1600 \rightarrow x = 8$. Llavors $y = 300(8) + 600 = 3000$.
2. Igualació: $y = 300x + 600$ i $y = 500x - 1000$. Igualem: $300x + 600 = 500x - 1000 \rightarrow 1600 = 200x \rightarrow x = 8$.
3. Reducció: Multipliquem la 1a per $-1$ i sumem: $(-300x + y) + (500x - y) = 600 + 1000 \rightarrow 200x = 1600 \rightarrow x = 8$.
Resultat final: $$\boxed{8 \text{ nets i } 3000 \text{ €}}$$
d)
Variables:
$x$: Edat de la mare
$y$: Edat de l'Ana
Anàlisi de l'enunciat:
- Condició 1 (actual): $x = 3y \rightarrow x - 3y = 0$
- Condició 2 (futur): $x + 10 = 2(y + 10) \rightarrow x - 2y = 10$
Sistema:
$\begin{cases} x - 3y = 0 \\ x - 2y = 10 \end{cases}$
Resolució:
1. Substitució: $x = 3y$. Substituïm: $3y - 2y = 10 \rightarrow y = 10$. Llavors $x = 3(10) = 30$.
2. Igualació: $x = 3y$ i $x = 2y + 10$. Igualem: $3y = 2y + 10 \rightarrow y = 10$.
3. Reducció: Multipliquem la 1a per $-1$: $-x + 3y = 0$. Sumem a la 2a ($x - 2y = 10$): $y = 10$.
Resultat final: $$\boxed{\text{La mare té 30 anys i l'Ana 10}}$$
e)
Variables:
$x$: Xifra de les desenes
$y$: Xifra de les unitats
(El número és $10x + y$)
Anàlisi de l'enunciat:
- Condició 1 (suma xifres): $x + y = 12$
- Condició 2 (permutació): $(10y + x) = (10x + y) + 18 \rightarrow -9x + 9y = 18 \rightarrow -x + y = 2$
Sistema:
$\begin{cases} x + y = 12 \\ -x + y = 2 \end{cases}$
Resolució:
1. Substitució: $y = 12 - x$. Substituïm: $-x + (12 - x) = 2 \rightarrow -2x = -10 \rightarrow x = 5$. Llavors $y = 7$.
2. Igualació: $y = 12 - x$ i $y = x + 2$. Igualem: $12 - x = x + 2 \rightarrow 10 = 2x \rightarrow x = 5$.
3. Reducció: Sumem directament les dues equacions: $2y = 14 \rightarrow y = 7$. Restem: $2x = 10 \rightarrow x = 5$.
Resultat final: $$\boxed{\text{El número és el } 57}$$