a)

Com que tenim el mateix denominador, restem els numeradors. Atenció al signe menys davant de la segona fracció, que canvia el signe de tot el numerador $(x+7)$:

$$ \frac{(3x+5) - (x+7)}{x-1} = \frac{3x+5-x-7}{x-1} $$

Agrupem termes semblants:

$$ \frac{2x - 2}{x-1} $$

Podem treure factor comú al numerador ($2$) i simplificar amb el denominador:

$$ \frac{2(x-1)}{x-1} = 2 $$

El resultat és:

$$ \boxed{2} $$

b)

Trobem el Mínim Comú Múltiple (MCM) dels denominadors $3x$ i $x^2$. El MCM és $3x^2$.

Ajustem els numeradors multiplicant pel factor que li falta al denominador original per arribar al MCM:

• A la primera fracció ($3x$) li falta una $x$: el numerador serà $2 \cdot x$.
• A la segona fracció ($x^2$) li falta un $3$: el numerador serà $5 \cdot 3$.

$$ \frac{2(x)}{3x^2} + \frac{5(3)}{3x^2} = \frac{2x + 15}{3x^2} $$

No es pot simplificar més, per tant el resultat és:

$$ \boxed{\frac{2x+15}{3x^2}} $$

c)

Factoritzem els denominadors:

• $x+1$ és irreductible.
• $x^2-1$ és una diferència de quadrats: $(x+1)(x-1)$.

El MCM és $(x+1)(x-1)$.

Reduïm a denominador comú (la segona fracció ja el té, només modifiquem la primera):

$$ \frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)} - \frac{2x}{(x+1)(x-1)} $$

Operem el numerador:

$$ \frac{x^2 - x - 2x}{x^2-1} = \frac{x^2 - 3x}{x^2-1} $$

Podem treure factor comú $x$ al numerador, però no es simplifica res amb el denominador. El resultat és:

$$ \boxed{\frac{x(x-3)}{x^2-1}} $$

d)

Factoritzem els denominadors:

• $x^2+2x = x(x+2)$.
• $x$ ja està factoritzat.

El MCM és $x(x+2)$.

Ajustem els numeradors:

$$ \frac{3}{x(x+2)} + \frac{2(x+2)}{x(x+2)} $$

Sumem els numeradors:

$$ \frac{3 + 2x + 4}{x(x+2)} = \frac{2x + 7}{x(x+2)} $$

Resultat final:

$$ \boxed{\frac{2x+7}{x^2+2x}} $$

e)

Analitzem els denominadors:

• $x-3$ ja és irreductible.
• $x^2-6x+9$ és el quadrat d'una diferència: $(x-3)^2$.

El MCM és el factor comú amb l'exponent més alt: $(x-3)^2$.

Operem:

$$ \frac{1(x-3)}{(x-3)^2} - \frac{6}{(x-3)^2} = \frac{x-3-6}{(x-3)^2} $$

Intentem simplificar el numerador però no és possible:

$$ \frac{x-9}{(x-3)^2} $$

Resultat:

$$ \boxed{\frac{x-9}{(x-3)^2}} $$

f)

El MCM dels denominadors és $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.

Posem totes les fraccions amb el denominador comú:

$$ \frac{(x+1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{3(x-1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{x^2+3}{(x-1)(x+1)} $$

Agrupem en una sola fracció i desenvolupem els parèntesis (vigilant el signe negatiu de l'última fracció):

$$ \frac{(x^2+2x+1) + (3x-3) - (x^2+3)}{x^2-1} $$ $$ \frac{x^2 + 2x + 1 + 3x - 3 - x^2 - 3}{x^2-1} $$

Agrupem termes al numerador:

$$ \frac{5x - 5}{x^2-1} $$

Traiem factor comú al numerador ($5$) i factoritzem el denominador per veure si es pot simplificar:

$$ \frac{5(x-1)}{(x-1)(x+1)} $$

Cancel·lem el factor $(x-1)$:

$$ \boxed{\frac{5}{x+1}} $$

g)

1. Factoritzem els denominadors:

• $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.
• Per a $x^3 - 2x^2 - x + 2$, apliquem Ruffini. Provem amb $x=1$: $$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & -2 & -1 & 2 \\ 1 & & 1 & -1 & -2 \\ \hline & 1 & -1 & -2 & 0 \end{array}$$ El quocient resultant és $x^2 - x - 2$, que es factoritza com $(x-2)(x+1)$. Per tant, el polinomi del segon denominador és $(x-1)(x+1)(x-2)$.

El MCM és $(x-1)(x+1)(x-2)$.

2. Ajustem els numeradors:

A la primera fracció li falta el factor $(x-2)$. La segona es queda igual.

$$ \frac{x(x-2)}{(x-1)(x+1)(x-2)} + \frac{3}{(x-1)(x+1)(x-2)} $$

3. Operem:

$$ \frac{x^2 - 2x + 3}{(x-1)(x+1)(x-2)} $$

Comprovem si el numerador $x^2 - 2x + 3$ té solucions reals per simplificar. El discriminant és $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8$. Com és negatiu, no es pot factoritzar als reals i, per tant, no es pot simplificar.

Resultat final:

$$ \boxed{\frac{x^2 - 2x + 3}{x^3 - 2x^2 - x + 2}} $$

h)

1. Factoritzem els denominadors:

Per al polinomi de grau 3 ($x^3 - 2x^2 - 5x + 6$), busquem divisors del terme independent (6). Provem amb $x=1$:

$$ 1^3 - 2(1)^2 - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0 $$

Com que dóna 0, apliquem Ruffini amb $x=1$:

$$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & -2 & -5 & 6 \\ 1 & & 1 & -1 & -6 \\ \hline & 1 & -1 & -6 & 0 \end{array}$$

El polinomi resultant és $x^2 - x - 6$. Factoritzem aquest trinomi (buscant dos nombres que sumin 1 i multipliquin -6, o amb la fórmula quadràtica): són $3$ i $-2$.

Per tant: $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x-1)(x-3)(x+2)$.

Per a l'altre denominador ($x^2 - 4x + 3$), busquem les arrels (que sumin 4 i multipliquin 3): són $1$ i $3$.

Per tant: $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.

2. Trobem el MCM:

Factors comuns i no comuns amb l'exponent més alt:

$$ MCM = (x-1)(x-3)(x+2) $$

(Fixa't que el primer denominador ja és el MCM).

3. Operem:

La primera fracció es queda igual. A la segona li falta el factor $(x+2)$.

$$ \frac{x}{MCM} - \frac{1(x+2)}{MCM} $$

Ajuntem en una sola fracció (vigilant el signe menys):

$$ \frac{x - (x+2)}{(x-1)(x-3)(x+2)} = \frac{x - x - 2}{(x-1)(x-3)(x+2)} $$

Simplifiquem el numerador:

$$ \frac{-2}{(x-1)(x-3)(x+2)} $$

El resultat final és:

$$ \boxed{-\frac{2}{x^3 - 2x^2 - 5x + 6}} $$