Un nombre és divisible per $18$ si i només si és divisible per $2$ i per $9$.
Un nombre és divisible per $9$ si la suma de les seves xifres és divisible per $9$. Les xifres utilitzades són de l'$1$ al $9$, exactament una vegada. La suma d'aquestes xifres és:
$$ 1 + 2 + \dots + 9 = 45 $$Com que $45$ és divisible per $9$, totes les permutacions de les $9$ xifres compleixen la condició de divisibilitat per $9$.
Un nombre és divisible per $2$ si la seva última xifra és parell. Les xifres parells disponibles en el conjunt $\{1, 2, \dots, 9\}$ són $\{2, 4, 6, 8\}$.
Per tant, hem de construir el nombre de $9$ xifres ($\text{X}_1\text{X}_2\dots\text{X}_9$) assegurant que $\text{X}_9$ sigui un nombre parell:
Per a l'última xifra $\text{X}_9$ tenim $4$ possibilitats. Un cop fixada aquesta xifra, per a $\text{X}_1$ ens queden $8$ opcions, per a $\text{X}_2$ ens en queden $7$, etc. Pel principi del producte, $$ \text{Total de nombres} = 4 \times 8! = 4 \times 40.320 = \boxed{161.280} $$