a)

Apliquem la Regla de Ruffini amb el valor $a = -3$ i els coeficients $(2, 1, -8, 4, -1)$:

$$\begin{array}{r|rrrrr} & 2 & 1 & -8 & 4 & -1 \\[4pt] -3 & & -6 & 15 & -21 & 51 \\ \hline & 2 & -5 & 7 & -17 & |\, 50\ \end{array}$$

El Quocient és un grau inferior a $x^4$:

$$ Q(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7x - 17 $$

El Residu és:

$$ R(x) = 50 $$

b)

Apliquem la Regla de Ruffini amb el valor $a = 3$ (ja que el divisor és $x-3$) i els coeficients del dividend $(1, 5, -10, -24)$.

$$\begin{array}{r|rrrr}  & 1 & 5 & -10 & -24 \\[4pt] 3 &   & 3 & 24 & 42 \\ \hline  & 1 & 8 & 14 & |\, 18\ \end{array}$$

Els coeficients resultants $(1, 8, 14)$ corresponen a un polinomi de grau inferior al dividend ($x^3$), per tant, el Quocient és:

$$\boxed{Q(x) = 1x^2 + 8x + 14 = x^2 + 8x + 14}$$

El darrer valor obtingut en la divisió és el Residu:

$$\boxed{R(x) = 18}$$

c) Apliquem la Regla de Ruffini amb el valor $a = -1$ (ja que el divisor és $x+1$) i els coeficients $(2, 0, 1, -6, -1)$. Noti's que s'inclou un zero com a coeficient de $x^3$:$$\begin{array}{r|rrrrr}  & 2 & 0 & 1 & -6 & -1 \\[4pt] -1 &   & -2 & 2 & -3 & 9 \\ \hline  & 2 & -2 & 3 & -9 & |\, 8\ \end{array}$$El Quocient és un grau inferior a $x^4$:$$Q(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3x - 9$$El Residu és:$$R(x) = 8$$

d) Apliquem la Regla de Ruffini amb el valor $a = 2$ (ja que el divisor és $x-2$) i els coeficients $(1, -3, 2, 4, -6, 5)$:$$\begin{array}{r|rrrrrr}  & 1 & -3 & 2 & 4 & -6 & 5 \\[4pt] 2 &   & 2 & -2 & 0 & 8 & 4 \\ \hline  & 1 & -1 & 0 & 4 & 2 & |\, 9\ \end{array}$$El Quocient és un grau inferior a $x^5$:$$Q(x) = x^4 - x^3 + 0x^2 + 4x + 2 = x^4 - x^3 + 4x + 2$$El Residu és:$$R(x) = 9$$