Troba dos nombres reals $p$ i $q$ que satisfacin:
$$ \begin{cases} p^2 + q^2 = 250 \\ p - q = 5 \end{cases} $$Ajuda't de les identitats notables.
Si $x, y$ són nombres reals diferents que compleixen el sistema següent:
$$ \begin{cases} y + 4 = (x - 2)^2 \\ x + 4 = (y - 2)^2 \end{cases} $$Quant val $x^2 + y^2$?
a) $\boxed{m = 2}$
b) $$\boxed{m = 1}$$
c) El resultat de la divisió és $y=4+\tfrac{24}{x-4}$. Per tant, $y$ serà enter si $x-4$ és divisor de $24$. Com que $24$ té $16$ divisors, tindrem un total de $\boxed{16}$ punts.
d)
Donat el sistema:
$$ \begin{cases} p^2 + q^2 = 250, \\ p - q = 5 \end{cases} $$Fem servir la identitat del quadrat d'una diferència:
$$ (p - q)^2 = p^2 - 2pq + q^2. $$Com que $p - q = 5$,
$$ (p - q)^2 = 5^2 = 25. $$Substituïm l'expressió desenvolupada:
$$ p^2 - 2pq + q^2 = 25. $$Restem aquesta igualtat de la dada $p^2 + q^2 = 250$:
$$ (p^2 + q^2) - (p^2 - 2pq + q^2) = 250 - 25. $$Això dóna:
$$ 2pq = 225 \quad\Rightarrow\quad pq = 112.5. $$Ara calculem $(p+q)^2$:
$$ (p+q)^2 = p^2 + 2pq + q^2. $$Substituint valors:
$$ (p+q)^2 = 250 + 2\cdot112.5 = 475. $$Per tant,
$$ p+q = \sqrt{475} = 5\sqrt{19}. $$Resolem el sistema lineal:
$$ \begin{cases} p+q = 5\sqrt{19},\\ p-q = 5. \end{cases} $$Calculem $p$:
$$ p = \frac{(p+q)+(p-q)}{2} = \frac{5\sqrt{19} + 5}{2} = \frac{5(\sqrt{19}+1)}{2}. $$Calculem $q$:
$$ q = \frac{(p+q)-(p-q)}{2} = \frac{5\sqrt{19} - 5}{2} = \frac{5(\sqrt{19}-1)}{2}. $$Solució final:
e) $$\boxed{x^2 + y^2 = 15}$$