Problemes de polinomis

a)

Calculeu el valor de $m$ perquè el residu de la divisió següent sigui $13$. $$(2x^3-5x+7):(x-m)$$

Solució:

$\boxed{m = 2}$

b)

Trobeu el valor de $m$ perquè el residu de la divisió següent sigui $-4$. $$(7x^3-5mx-2):(x+1)$$

Solució:

$$\boxed{m = 1}$$

c)

Quants punts $(x, y)$ amb coordenades enteres té aquesta corba? $$ y = \frac{4x + 8}{x − 4} $$

Solució:

El resultat de la divisió és $y=4+\tfrac{24}{x-4}$. Per tant, $y$ serà enter si $x-4$ és divisor de $24$. Com que $24$ té $16$ divisors, tindrem un total de $\boxed{16}$ punts.

d)

Troba dos nombres reals $p$ i $q$ que satisfacin:

$$ \begin{cases} p^2 + q^2 = 250 \\ p - q = 5 \end{cases} $$

Ajuda't de les identitats notables.

Solució:

Solució

Donat el sistema:

$$ \begin{cases} p^2 + q^2 = 250, \\ p - q = 5 \end{cases} $$

Fem servir la identitat del quadrat d'una diferència:

$$ (p - q)^2 = p^2 - 2pq + q^2. $$

Com que $p - q = 5$,

$$ (p - q)^2 = 5^2 = 25. $$

Substituïm l'expressió desenvolupada:

$$ p^2 - 2pq + q^2 = 25. $$

Restem aquesta igualtat de la dada $p^2 + q^2 = 250$:

$$ (p^2 + q^2) - (p^2 - 2pq + q^2) = 250 - 25. $$

Això dóna:

$$ 2pq = 225 \quad\Rightarrow\quad pq = 112.5. $$

Ara calculem $(p+q)^2$:

$$ (p+q)^2 = p^2 + 2pq + q^2. $$

Substituint valors:

$$ (p+q)^2 = 250 + 2\cdot112.5 = 475. $$

Per tant,

$$ p+q = \sqrt{475} = 5\sqrt{19}. $$

Resolem el sistema lineal:

$$ \begin{cases} p+q = 5\sqrt{19},\\ p-q = 5. \end{cases} $$

Calculem $p$:

$$ p = \frac{(p+q)+(p-q)}{2} = \frac{5\sqrt{19} + 5}{2} = \frac{5(\sqrt{19}+1)}{2}. $$

Calculem $q$:

$$ q = \frac{(p+q)-(p-q)}{2} = \frac{5\sqrt{19} - 5}{2} = \frac{5(\sqrt{19}-1)}{2}. $$

Solució final:

$p = \dfrac{5(\sqrt{19}+1)}{2}$
$q = \dfrac{5(\sqrt{19}-1)}{2}$

e)

Si $x, y$ són nombres reals diferents que compleixen el sistema següent:

$$ \begin{cases} y + 4 = (x - 2)^2 \\ x + 4 = (y - 2)^2 \end{cases} $$

Quant val $x^2 + y^2$?

Solució:

$$\boxed{x^2 + y^2 = 15}$$